푸아송방정식 예제

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PDE를 변형 문제로 전환하는 기본 레시피는 PDE에 함수 (v)를 곱하고, 결과 방정식을 도메인 (Omega)에 통합하고, 2차 파생 상품과 용어의 일부로 통합을 수행하는 것입니다. PDE를 곱하는 함수 (v)를 테스트 함수라고 합니다. 근사화할 알 수 없는 함수 (u)를 평가판 함수라고 합니다. 평가판 및 테스트 기능이라고 하는 용어는 FEniCS 프로그램에서도 사용됩니다. 평가판 및 테스트 함수는 함수의 속성을 지정하는 특정 함수 공간에 속합니다. 푸아송 방정식에 대한 해결책을 u (x , y) = X (x) Y (y)로 고려하십시오. {디스플레이 스타일 u(x,y)=X(x)Y(y)~.} Laplace 방정식 에 대한 해에서와 같이 변수를 분리하면 X ” – μ X = 0 {pstyle X“-mu X=0} Y ” + μ Y = 0 {displaystyle Y`+mu Y=0} 푸아송 방정식에 대한 그린의 함수의 일반적인 박람회는 상영 푸아송 방정식의 기사에서 제공됩니다. 이완 방법, 반복 알고리즘과 같은 수치 솔루션에 대한 다양한 방법이 있습니다. 푸아송 방정식에서 구 내부의 전위에 대한 전체 솔루션은 위의 논의는 자기장이 시간에 변화하지 않는다고 가정합니다. 동일한 푸아송 방정식은 쿨롱 게이지가 사용되는 한 시간이 다르더라도 발생합니다.

이 보다 일반적인 컨텍스트에서, E는 독립적으로 계산되어야 하는 자기 벡터 전위 A에 의존하기 때문에, 계산 φ는 더 이상 E를 계산하기에 충분하지 않습니다. 맥스웰 방정식에서 φ와 A에 대한 자세한 내용은 잠재적 인 공식에서 맥스웰의 방정식과 푸아송 방정식이 이 경우 얻어지는 방법을 참조하십시오. 수학에서 푸아송 방정식은 기계 공학 및 이론 물리학에서 광범위한 유틸리티를 가진 타원 유형의 부분 미분 방정식입니다. 예를 들어, 주어진 전하 또는 질량 밀도 분포로 인한 전위 필드를 설명하기 위해 발생합니다. 전위 필드를 통해 중력 또는 정전기장을 계산할 수 있습니다. 그것은 또한 자주 물리학에서 볼 수있는 라플라스의 방정식의 일반화이다. 방정식은 프랑스의 수학자, 지오미터, 물리학자 시메온 데니스 푸아송의 이름을 따서 명명되었습니다. [1] 직접 정전기에 대한 푸아송의 방정식을 생성, 이는 우리가이 방정식이 어떤 적절한 공간 (hat V)에서 모든 테스트 함수 (v)를 보유해야하는 경우, 우리는 고유하게 잘 정의 된 수학 문제를 얻을 일부 (아마도 다른) 기능 공간 (V), 소위 평가판 공간에 있는 솔루션 (u)을 결정합니다. 우리는 (6)을 원래 경계 값 문제 (1)-(2)의 약한 형태 또는 변형 형태로 지칭한다. 가우스의 전기 법칙(맥스웰 방정식 중 하나)을 미분 형태로 시작한 푸아송 방정식에 대한 첫 번째 FEniCS 프로그램은 구현을 쉽게 확인할 수 있는 간단한 테스트 문제를 대상으로 했습니다.

우리는 이제 다소 더 흥미로운 모양의 솔루션으로 물리적으로 더 관련성이 있는 문제에 주의를 돌립니다. 내장 된 FEniCS 시각화 도구 (`plot“ 명령을 사용하여 만든 푸아송 문제에 대한 메쉬 및 솔루션의 플롯는 다음과 같이 비 균질 방정식에 대한 해결책을 고려하십시오 : u ( x , y ) := m, n = 0 ∞ m n X m (x) Y n ( y) = n = 0 = m n 죄 (m + 1) π x L 죄 (n + 1) π y M {디스플레이 스타일 {시작{정렬}u (x,y)&==_=_{m,n=0}^{{infty}X_{mn}X_{mn }(x)Y_{n}(y_{n}(y)&\\_m,n=0}{{{{{{a_{mn}\frac {(m+1)pi x}{L}}sin {frac {(n+1) pi y}{M}}=end{aligned}} } 우리는 이것을 푸아송 방정식으로 대체하고 해결합니다: F (x , y) = U x + u y y = m , n = 0 = ∞ { m n – – – – – – – m + 1 ) π x L 2 2 ] 죄 ( m + 1) π x L 2 2 ] 죄 ( m + 1) π x L 죄 ( n + 1) n + 1) 2 π 2 M 2 ] 죄 (m + 1) π x L 죄 (n + 1) π y M } = m, n = 0 ∞ ∞ ∞ 2 π 2 2 L 2 + (n + 1) 2 π 2 M 2 ) π y M {디스플레이 스타일 {시작{시작{정렬}F(x,y)&=u_{xx}+u_{yy}\==합계 _{m, n=0}{{{{{{{\왼쪽{frac {(m+1)=1 2}pi ^{2}{{{2}}}}}}}}오른쪽rbrack sin {frac {(m+1)pi x}}sin {frac {}pi y}{M}****왼쪽{a_{mn} 왼쪽lbrack-{frac {(n+1)^{2}{2}}{M^{2}}}=오른쪽rbrack sin {frac {(m+1)pi x}}\frac {\p}}}}}} &=___m,n=0}{{{{{infty }={{왼쪽[-a_{mn}왼쪽({a_{mn}왼쪽)({frac {{1)^{2}{2}{2}{{2}{{2}{{{{2}={{{{2{{{{2 2}}{M^{2}}}}오른쪽)}}}{A_{mn}}}신 {frac {(m+1)pi x}{L}\frac {frac {(n+1)\\\\\pi y}{M}}end{aligned}} } A m n = 0 M” 0 L F (x , y) 죄 (m + 1) π x L 죄 (n + 1) π y m d y d y y y y 2 ( n + 1) π y M y y y y y y y y y y y y y y y sin (n + 1) y M +1 ) π x sin (n + 1) y M d x y {표시

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